FPGA实现Cordic算法求解arctanθ

一. 简介

由于在项目中需要使用的MPU6050，进行姿态解算，计算中设计到arctan 和 sqr(x*2 + y * 2),这两部分的计算，在了解了一番之后，发现Cordic算法可以很方便的一次性求出这两个这两部分的计算。另外也可以一次性求出sin和cos的值。另外该算法还可以计算其他的一些公式(没做过多的了解)。

二.Cordic算法

该算法的核心实现就是旋转逼近，每次旋转一定的角度，无限的逼近所给定的角度值。

1. 理论基础

首先有向量P0，现在要将其旋转θ角度，到Pm。那么Pm的坐标值如下

xm = x0cosθ - y0sinθ = cosθ(x0 – y0tanθ)

ym = x0sinθ + y0cosθ = cosθ(y0 + x0tanθ)

P0和Pm均在单位圆上，另外假设现在P0在X轴上，即 X0 = 1，y0 = 0。上式就可以变为如下显示

xm = x0cosθ - y0sinθ = cosθ

ym = x0sinθ + y0cosθ = sinθ

可以看到Pm的坐标值，就是sinθ 和 cosθ的值。这就是理论基础。

2. sinθ 和 cosθ 算法实现

有了理论支持后，我们只需要求解Pm的坐标即可。直接旋转θ不太可能，但是我们可以每次旋转特定的角度θi (tanθi = 1/2^i),让我们的角度值逼近θ即可。于是就有了如下迭代公式。

x(i+1) = cosθi* (xi – yi * tanθi)

y(i+1) = cosθi * (yi + xi * tanθi)

θ(i+1) = θi (+-) dθi

如果当前角度小于设定角度，那么就加dθ ，大于设定角度 ， 那么就减dθ。由于每次旋转的dθ，会越来越小，所以旋转的当前角度会越来越来接近设定角度。

计算过程中 ，cosθi，只充当缩放因子，对旋转方向没有影响。可以先在软件中提取技术出来。每次旋转角度值 和 对应的 cos值如下。

3. arctan (x,y)和 sqr(x*2 + y * 2)算法实现

在求解sinθ 和 cosθ 的时候，知道，给定一个角度，按照上述方法就可以求解。现在将其反过来，给定sinθ 和 cosθ的值，也就是Pm的坐标(可能不在单位圆上，只是模值缩放了)，现在只需要将其旋转到X轴的正半轴上，即Y = 0 ，X > 0的时候，所旋转过的角度值即arctan (x,y)。

然后P0的X坐标值即sqr(x*2 + y * 2)。旋转过程中，向量的模值是不会改变的，而Pm的模值就是sqr(x*2 + y * 2)。

三.Cordic算法实现

首先将上述角度值，存储到verilog中，需要进行扩大处理。由于tanθi = 1/2^i)，所以对应的tanθ也是知道的。在相乘的时候，只需要将对应的数右移对应的位数即可

`define rot0 32'd2949120    //45度*2^16
`define rot1 32'd1740992    //26.5651度*2^16
`define rot2 32'd919872    //14.0362度*2^16
`define rot3 32'd466944    //7.1250度*2^16
`define rot4 32'd234368    //3.5763度*2^16
`define rot5 32'd117312    //1.7899度*2^16
`define rot6 32'd58688     //0.8952度*2^16
`define rot7 32'd29312     //0.4476度*2^16
`define rot8 32'd14656     //0.2238度*2^16
`define rot9 32'd7360     //0.1119度*2^16
`define rot10 32'd3648     //0.0560度*2^16
`define rot11 32'd1856     //0.0280度*2^16
`define rot12 32'd896      //0.0140度*2^16
`define rot13 32'd448      //0.0070度*2^16
`define rot14 32'd256      //0.0035度*2^16
`define rot15 32'd128      //0.0018度*2^16

然后就是迭代过程了,迭代16次足够了。最后的Zn和Xn就是想要结果。

//旋转
genvar i;
generate
  for( i = 1 ;i < 17 ;i = i+1)
   begin: loop2
       always@(posedge clk or negedge rst_n)
       begin
           if( rst_n == 1'b0)
           begin
               Xn[i] <= 'd0;
               Yn[i] <= 'd0;
               Zn[i] <= 'd0;
           end
           else if( cal_delay[i -1] == 1'b1)
           begin
               if( Yn[i-1][31] == 1'b0)
               begin
                   Xn[i] <= Xn[i-1] + (Yn[i-1] >>> (i-1));
          Yn[i] <= Yn[i-1] - (Xn[i-1] >>> (i-1));
          Zn[i] <= Zn[i-1] + rot[i-1];
               end
               else
               begin
                   Xn[i] <= Xn[i-1] - (Yn[i-1] >>> (i-1));
          Yn[i] <= Yn[i-1] + (Xn[i-1] >>> (i-1));
          Zn[i] <= Zn[i-1] - rot[i-1];
               end
           end
           else
           begin
               Xn[i] <= Xn[i];
               Yn[i] <= Yn[i];
               Zn[i] <= Zn[i];
           end
       end
   end
endgenerate

这里没有乘cosθ，最后的Xn会比真实值大1.64倍左右，所以还需要对其进行一个缩小操作，通过右移来近似实现。

assign cordic_ack = cal_delay[16];
assign theta   = Zn[16];
assign amplitude = (Xn[16] >>> 1) + (Xn[16] >>> 3); ////幅度，偏大1.64倍，这里做了近似处理

然后就是仿真了，给了X=Y=15，也就是角度为45度，幅值21.213，扩大65536倍为1,376,256。可以看到结果近似。

审核编辑：刘清